Introducción a la Informática. Diplomatura GAP. Facultad de Derecho
Capítulo 5. Sistemas de numeración
Introducción
códigos de entrada/salida
Sistemas de numeración más usuales
Representación interna de la información
Detección de errores en la información codificada
¿Te interesa la historia y divulgación de la Informatica?
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5.1 Introducción
Un ordenador es una máquina que procesa información. La ejecución de una tarea implica la realización de unos tratamientos, según especifica un conjunto ordenado de instrucciones (es decir, un programa) sobre unos datos. Para que el ordenador ejecute un programa es necesario darle información de dos tipos:- Instrucciones que forman el programa
- Los datos con los que debe operar ese programa
Los caracteres que se utilizan para la representación externa son:
- Numéricos: Constituidos por las diez dígitos en el sistema decimal
- Alfabéticos: Letras mayúsculas y minúsculas
- Especiales: Son símbolos no incluidos en los grupos anteriores, como: ), (, *, /, +, -, [, ]...
Veremos cómo estos caracteres usados en la representación externa son representables en los ordenadores. Este paso de una representación a otra se denomina codificación y el proceso inverso decodificación.
Por lo tanto hay dos niveles en la representación de la información
- Nivel de representación externa: usada por las personas e inadecuada para el ordenador
- Nivel de representación interna: adecuada al ordenador y no inteligible directamente por el ser humano.
Los elementos básicos que constituyen un ordenador son de naturaleza binaria, ya que solo pueden adoptar dos valores, 0 y 1 (corresponden a dos niveles de tensión, dos valores de corriente, dos situaciones de una lámpara... ). Al tener que traducir toda la información suministrada a ceros y unos es necesario establecer una correspondencia entre el conjunto de todos los caracteres:
y el conjunto binario:
de forma que a cada elemento del primero le corresponda un elemento distinto del segundo.
Estos códigos de transformación se denominan códigos entrada/salida (E/S) o externos y se pueden definir de forma arbitraria. Las operaciones aritméticas con datos numéricos se suelen realizar en una representación más adecuada para este objetivo que la del código de E/S. Por ello en el propio ordenador se efectúa una transformación entre códigos binarios, obteniéndose una representación fundamentada en el sistema de numeración en base dos, que al ser una representación numérica posicional es muy apta para realizar operaciones aritméticas.
5.2 códigos de entrada/salida.
Los códigos de E/S o externos son códigos que asocian a cada carácter una combinación de bit. En otras palabras, un código de E/S es una correspondencia entre los conjuntos:y
B = {0, 1}n
Si se usa un número fijo, n, de bit para codificar los símbolos de A, el valor máximo de n dependerán del número m de elementos de A. Así:
- Con 2 bit (n=2) podemos hacer 4 combinaciones distintas y se pueden codificar hasta 4 símbolos (m=4) distintos
- Con 3 bit (n=3) podemos hacer 8 combinaciones distintas y se pueden codificar hasta 8 símbolos (m=8) distintos
- Con 4 bit (n=4) podemos realizar 16 combinaciones dise pueden codificar hasta 16 símbolos (m=16) distintos
- ....
- Con n bit pueden codificarse m = 2n símbolos distintos.
Es decir, n debe ser el menor entero que verifique la relación anterior.
Ejemplo: Para codificar las 10 cifras decimales (0, 1,...,9) se necesitarán:
es decir 4 bit (ya que con 3 solo podremos codificar 8 símbolos).
Dos codificaciones posibles son las siguientes:
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Pueden hacerse codificaciones con más bit de los necesarios; es decir, podríamos establecer códigos de E/S de forma totalmente aleatoria. Obviamente existen códigos normalizados que suelen ser utilizados por los constructores de ordenadores, son conocidos como:
- BCD de intercambio normalizado.
- EBCDIC
- ASCII
- ANSI
Usualmente este código utiliza 6 bit, con lo que se pueden representar, m = 26 = 64 caracteres. A veces se aónade a su izquierda un bit adicional para verificar posibles errores en la transmisión del código (tema que se verán más adelante) de forma que el carácter queda representado por n = 7 bit.
| bit de verificación | ||||||
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Los bit 4, 5 son conocidos como bit de zona. Los bit de zona indican el tipo de carácter representado. Ejemplo: 00 para los numéricos. Los bit 0, 1, 2, 3 son conocidos como bit de posición, que coinciden para los caracteres numásricos con la representación en binario natural y para el 0 con la representación del 10.
CÓDIGO EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange).
Utiliza n = 8 para representar cada carácter, pudiendo codificar hasta m = 28 = 256 símbolos distintos.
CODIGO ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
Utiliza 7 bit y es de los más utilizados. Normalmente se incluye un octavo bit para detectar posibles errores de transmisión o grabación. Si el octavo bit se emplea para representar más caracteres como letras griegas y símbolos semigráficos, se tiene el denominado ASCII extendido, usado en el PC de IBM y compatibles.
CODIGO ANSI (American National Standards Institute - Instituto Nacional Americano de estádares)
El estándar ANSI especifica una serie de secuencias de escape, que hacen que el monitor se comporte de distintas formas. Por ejemplo, una secuencia de escape limpia la pantalla, mientras que otra hace que los siguientes caracteres se inviertan.
5.3 Sistemas de numeración usuales
Los ordenadores suelen efectuar las operaciones aritméticas utilizando una representación para los datos numéricos basada en el sistema de numeración en base 2 (binario natural). También se utilizan los sistemas de numeración octal y hexadecimal, para obtener códigos intermedios. Un número expresado en uno de estos códigos puede transformarse a binario y viceversa.LOS SISTEMAS DE NUMERACION A LO LARGO DE LA HISTORIA5.3.1 Representación posicional de los números
Seguidamente se comentan los sistemas de numeración que distintas culturas han usado a lo largo de la Historia
ón Introducción. El Concepto de Base
ón Sistemas de Numeracion Aditivoso Egipcio
o Griego
ón Sistemas de Numeración Hónbridoso Chino
ón Sistemas de Numeración Posicionaleso Babilónico
o Maya
Enlace recomendado: Sistema de numeración romano
Introducción. El concepto de base
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se aónade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que solo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en son mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los hindues y transmitido a Europa por los árabes. Del origen hindú del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que solo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Sistemas de numeración aditivos
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema geroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un geroglífico específico. Así para escribir 754 usaban siete geroglíficos de centenas cinco de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabónticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.
El sistema de numeración egipcio
Desde el tercer milenio a.n.e. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los geroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revóns o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estáticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hieróntica y deméstica, formas más simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.
El sistema de numeración griego
El primer sitema de numeración griego se desarrollón hacia el 600 a.n.e. Era un sistema de base decimal que usaba unos símbolos para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario segón el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el cuatro se usaban trazos verticales. Para el cinco, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen aónadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de cinco, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema óntico fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos. De esta forma los números parecen palabras, ya que está compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numásrico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina másgica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judóna y la ónrabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kónbala, que persigue fines másticos y adivinatorios.
Sistemas de numeración hónbridos
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hónbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacion del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan Así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dóndolos por supuestos y se escriben solo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algón orden de magnitud está vacóno y no se confundan el 307 con 370, 3070 ... Además del chino clónsico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etónope y algunos del subcontinente hindón Cómo el tamil, el malayalam y el cingalóns.
El sistema de numeración chino
La forma clónsica de escritura de los números en China se empezón a usar desde el 1500 A.N.E. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza ideogramas y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para segón el principio multiplicativo representar 50, 700 ón 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5 10 7 igual podróna representar 57 que 75.
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque tambión se hace de izquierda a derecha. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aón Así a veces se suprimásan los correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma que podrónamos llamar canónica se usaron otras. Para los documento importantes se usaba una grafóna más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribóna de forma más estilizada y lineal y aón se usaban hasta dos grafónas diferentes en usos domásticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporón el cero por influencia india en siglo VIII en nada se diferencia de este.
Sistemas de numeración posicionales
Mucho más efectivos que los sitemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente. solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas ónpocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidión a los chinos un desarrollo completo hasta la intraducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran próncticos para operar porque no disponónan de simbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio nigón obstónculo. Los mayas por su parte cometónan una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detróns de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los hindónes antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración Cómo ónrabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales se originón en India. Los ónrabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cónlculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cónlculos dificilmente la ciencia hubiese podido avanzar.
El sistema de numeración Babilónico
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. Inventaron un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacóna con el punzón en forma de cuóna. Se ponónan tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenóna su propio signo. De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60. A partir de ahón se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompaónan.
El sistema de numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 Cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servónan para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que seaónadónan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continóna hasta el 20, con cuatro rayas. Hasta aquón parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cónfras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... segón el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo segón el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algón orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Pero los cientónficos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronónmica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy prónxima a la duración de un aóno.
El aóno lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 dónas. Se aónadónan algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguóna que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numásrico. Además de ónste calendario solar, usaron otro de carater religioso en el que el aóno se divide en 20 ciclos de 13 dónas.
Al romperse la unidad del sistema ónste se hace poco prónctico para el cónlculo y aunque los conocimiento astronónmicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemástica más allón del calendario
Se define un sistema de numeración: como el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de cantidades. En ellos existe un elemento caracterónstico que define el sistema y se denomina base, siendo ónsta el número de símbolos que se utilizan para la representación.
Un sistema de numeración en base "b" utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras. Así todo número se expresa por un conjunto de cifras, teniendo cada una de ellas dentro del número un valor que depende:
- De la cifra en sí
- De la posición que ocupe dentro del número
En el sistema de numeración decimal (base 10), que habitualmente se utiliza, b = 10 y el alfabeto por tanto, está constituido por 10 símbolos: {0, 1, 2..., 9}
Por ejemplo, el número 3278.52 puede obtenerse como suma de: 200 70 8 0.5 0.02 3278.52 por tanto se verifica que: Cada posición, por tanto, tiene un peso: Posición 0 Peso b0 Posición 1 Peso b1 Posición 2 Peso b2 Posición 3 Peso b3 .... Posición -1 Peso b-1 Posición -2 Peso b-2 ..... |
Generalizando se tiene que la representación de un número en una base b :
es una forma abreviada de expresar su valor, que es:
Ejemplo en base 8:
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b = 8. Los símbolos que se usan son: El valor decimal del número octal 175.37 serán: |
5.3.2 Sistema de numeración en base dos.
El sistema de numeración en base dos, fue introducido por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en el siglo XVII, siendo el más adecuado para usar en las másquinas electrónicas, debido a que utilizan esencialmente sistemas de dos estados, encendido y apagado. En el sistema binario los datos se representan en un sistema que solo admite dos estados, 0 y 1.
Las operaciones aritméticas se suelen realizar usando una representación de datos y resultados en binario natural.
A) Definición del sistema binario.
En el sistema de numeración binario b=2 y el conjunto de símbolos usados es: {0, 1}
Una muestra de los números enteros binarios que se pueden formar con 3 bit y que corresponden a las cifras decimales {0, ...,7} es:
American National Standards InstituteAmerican National Standards Institute
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B) Transformaciones entre bases binaria y decimal.
Se puede transformar un número binario a decimal sin más que usar la expresión vista anteriormente:
.n4 n3 n2 n1 n0
n-1 n-2...)2 = ...n4 24 + n3
23 + n2 22 + n1 21
+ n0 20+ n-1 2-1 + =
N)10
Ejemplo:
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Transformar a decimal los siguientes números binarios: 0.10100)2 = 0*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 + 0*2-4 + 0*2-5 = 2-1 + 2-3 = 0.625)10 10100.001)2 = 1*24 + 1*22 + 1*2-3 = 20.125)10 |
Para transformar un número decimal a binario:
a) La parte entera del nuevo número (binario) se obtiene efectuando divisiones enteras (sin obtener decimales) por dos, de la parte entera del número decimal de partida y de los cocientes que sucesivamente se vayan generando. Los restos de estas divisiones y el último cociente (que serán siempre ceros y unos) son las cifras binarias. El último cociente serán el bit más significativo y el primer resto el bit menos significativo (más a la derecha).
Ejemplo:
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26)10 es en binario: 26)10 = 11010)2
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b) La parte fraccionaria del número binario se obtiene multiplicando por 2 sucesivamente la parte fraccionaria del número decimal de partida y las partes fraccionarias que se van obteniendo en los productos sucesivos. El número binario se forma con las partes enteras (que serán ceros y unos) de los productos obtenidos.
Ejemplo:
Transformar a binario natural el número decimal 0.1875 0.1875 0.3750 0.7500 0.5000 * 2 * 2 *2 * 2 --------- ---------- ---------- ---------- 0.3750 0.7500 1.5000 1.0000 0.1875)10 = 0.0011)2 |
Ejemplo:
Transformar a binario el número decimal 74.423 a) Parte entera: 74 | 2_ 0 37 | 2__ 1 18 | 2__ 0 9 | 2_ 1 4 | 2__ 0 2 | 2__ 0 1 |
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b) Parte fraccionaria: 0.423 0.846 0.692 0.384 0.768 *2 * 2 * 2 * 2 * 2 -------- --------- --------- --------- --------- 0.846 1.692 1.384 0.768 1.536 Es decir: 74.423)10 = 1001010.01101...)2 |
Ejemplo, programa en C, para convertir de base 10 a base 2
1) Se divide el numero entre la base y se va guardando el residuo, el resultado de la división se vuelve a dividir entre la base y se guarda el residuo; esto se efectóna tantas veces hasta que el resultado de la división sea cero.
Ejemplo: convertir 14 en base 10 a base 2
14/ 2= 7 sobran 0
7 / 2= 3 sobran 1
3 / 2= 1 sobran 1
1 / 2 =0 sobran 1
Ahora lo vamos a poner en una tabla con subindices
c0 b c0 r0 ónQuón observamos? Es posible utilizar un arreglo de vectores de:
14 2 7 0
c0 b c1 r1
7 2 3 1
c1 b c2 r2
3 2 1 1
c2 b c3 r3
1 2 0 1
c0,c1,c2,c3 r0,r1,r2,r3 b se mantiene constante. En la primera columna se observa que en el tercer renglón se repite un valor de c0 porque es el resultado de la división, que luego se debe utilizar, nuevamente para hacer la siguiente división.
¿Hasta donde dejar de hacer divisiones? Hasta que c[i] se haga cero, en este caso c3=0. Y por lo tanto ya terminamos.
¿Ahora como hacemos para que vayan cambiando los subíndices?
primera iteración c0 b c0 r0 Haríamos un "for del índice de 0 a 3"segunda iteración c0 b c1 r1 Sin embargo los que estan obscuros perjudican
tercera iteración c1 b c2 r2 nuestro for, lo que podemos mejorarlo de este
tercera iteración c2 b c3 r3 modo: c[0]= c[1]- 1. Y con esto quedaria asi:
co b co ro
c1-1 b c1 r1
c2-1 b c2 r2
c3-1 b c3 r3 si hago el número= c0;
Que Así con un solo for (i=0;i<=3;i++){
c[i]=c[i-1]/b;
r[i]=fmod(c[i-1],b)
.requiere #include <math.h>
El mod saca el residuo de la division(a,b) a/b= residuo.}
¿Cómo lo mandamos a imprimir el resultado?: r4r3r2r1= 1110 base2 = 14 base10
hacemos otro for para el subindice de r[i] desde i=4 hasta i=0
for (i=4; i<=0;i--){
printf("%d", r[i]);
}
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
int c[50], r[50]; /* es mejor poner más de lo necesario */int i,b;
main()
{
clrscr();/* Datos */
b=2;
c[0]= 14;
i=1;/* conversion */
for(;;){ c[i]= c[i-1]/b;
r[i]= fmod(c[i-1],b);
if (c[i]==0) break;
i=i+1;}
for(;;) /* impresión de resultado de atrás para adelante */{
if (i==0) break;
printf(" %d",r[i]);
i=i-1;
}}
C) Operaciones aritméticas y lógicas con variables binarias
Una variable binaria puede representar, una cifra de un número en el sistema de numeración en base dos. Las operaciones aritméticas bónsicas con variables binarias naturales son la suma, resta, multiplicación y división. Estas operaciones son anónlogas a las realizadas en decimal pero usando ceros y unos.
Tabla de operaciones aritméticas:
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Ejemplo:
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1110101 1101010 1101010 1110110 - 1010111 * 11 ------------- ------------- ------------ 11101011 0010011 1101010 + 1101010 --------------- 100111110 |
Las operaciones lógicas o booleanas con variables binarias son la suma lógica (+), llamada también funcién OR, el producto lógico (llamado tambión AND y la complementación (-) o negación o NOT.
Un tutorial sobre lógica se puede ver en el siguiente vídeo:
Online Videos by Veoh.com
Las tablas son las siguientes:
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Producto lógico (AND)
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Complementación (NOT)
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Es frecuente tambión la utilización de las operaciones combinadas como NAND (AND y NOT) y NOR (OR y NOT).
Las tablas son las siguientes:
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NOR
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Veamos ahora por quón resulta más sencillo operar con el sistema binario que con el decimal.
Se ha visto la simplicidad de las operaciones aritméticas en binario. Los ordenadores funcionan con circuitos que pueden representar los dos estados del sistema binario (0 y 1) abriéndose o cerrándose el circuito.
Al conectar dos circuitos segón el esquema, y hacer pasar una corriente eléctrica por A se puede conseguir que el estado del conductor C represente el resultado de la operación AND lógica.
1 1
---------------*------------------ C toma el valor 1
A B
0 1
---/ /---------*------------------ C toma el valor 0
A B
1 0
---------------*-------/ /------ C toma el valor 0
A B
0
0
--/ /---------*-------/ /------- C toma el valor 0
A
B
De forma parecida se construye la función OR lógica:
A = 1
-------------------
|------------------- C=1
-------------------
B = 1
A = 1
-------------------
|------------------- C=1
----/ /----------
B = 0
A = 0
----/ /----------
|------------------- C=1
-------------------
B = 1
A = 0
-----/ /----------
|------------------- C=0
----/ /----------
B = 0
Estos ejemplos ilustran Cómo basándose en circuitos e impulsos eléctricos un ordenador puede realizar operaciones aritméticas y lógicas. El motivo por el que los ordenadores electrónicos trabajan en el sistema binario se puede deducir de los ejemplos vistos. Queda imaginar la complejidad que supondróna trabajar en el sistema decimal (con circuitos 10 veces más complejos para representar operaciones de 2 dígitos).
Una puerta es un circuónto electrónico que produce una seónal de salida que es una operación booleana sencilla de las seónales de entrada. Las puertas bónsicas usadas en lógica digital son AND, OR, NOT, XOR, NAND y NOR. cada puerta se define de tres formas: símbolo gráfico, notación algebraica y tabla de verdad, como se muestra seguidamente:
El siguiente programa muestra esquemásticamente como actónan las puertas AND, OR y NOT descritas previamente (Pulsa sobre A y/o B)
D) Representación en complementos
Para representar un número negativo se puede utilizar el complemento de ese número a la base. De esta forma las sumas y restas quedan reducidas a sumas. Este sistema de representación es de sumo interóns en el caso de los ordenadores ya que al usarlo se reduce la complejidad de los circuitos.
El complemento a la base de un número, es el número que resulta de restar a cada una de las cifras del número N a la base menos uno del sistema que se está utilizando y posteriormente sumar uno a la diferencia obtenida.
Ejemplo:
-63 + 1 ------ ------ 36 37 Es decir, el complemento a 10 (base)del número 63 es 37. |
En base 2: Base menos uno: 1 Complemento a 2 del número 10010 es 01110 11111 01101 - 10010 + 1 ------------- ------------- 01101 01110 Complemento a 2 del número 101010 es 010110 111111 010101 101010 + 1 ----------- ------------ 010101 010110 |
Observamos que para transformar un número binario N a complemento a 2 basta con cambiar los 0 por 1 y los 1 por 0 de N y sumar 1 al resultado.
Veremos ahora que la utilidad de esta representación es para convertir la realización de las restas a sumas, lo cual simplifica el diseóno del procesador.
Ejemplo: Base 10
Supongamos que se ha de realizar la siguiente operación: 77 - 63 Se puede hacer de dos formas diferentes: a) Directamente: 77 - 63 = 14 b) Utilizando el complemento a 10 del substraendo:
-63 +1 ---- ----- 36 37 77 +37 ----- 114 - (No se considera) El resultado es 14 |
Es decir, para restar basta con sumar el minuendo con el complemento a la base del substraendo y sin considerar el acarreo.
Ejemplo: Base 2
Se puede hacer de dos formas: a) Directamente: 11001 -10010 -------- 00111 b) Usando el complemento a 2 del substraendo: El substraendo es 10010. Su complemento a 2 se obtiene cambiando 0 por 1 y 1 por 0. 01101 y sumásdole 1 01101 + 1 -------- 01110
+01110 --------- 100111 - (No se considera) |
E) códigos intermedios
Los códigos intermedios se basan en la facilidad de transformar un número en base 2 a otra base que sea potencia de 2 y viceversa. Usualmente se usan como códigos intermedios los sistemas de numeración en base 8 y en base 16 (conocidos como octal y hexadecimal).
- a) OCTAL.
{0, 1,..., 7}
Para convertir un número octal a binario solo debemos sustituir cada dóngito octal por su equivalente binario.
Equivalencias
| OCTAL | BINARIO |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
|
6 se sustituye por 110 2 se sustituye por 010 537.24)8 = 101 011 111 . 010 100)2 |
que equivale segón la tabla, a: 5 3 7 . 2 4
La conversión de binario a octal se realiza juntando en grupos de tres dígitos binarios, comenzando por la izquierda desde el punto decimal y sustituyendo cada grupo por el correspondiente dóngito octal.
Ejemplo:
|
El número binario 10001101100.11010)2 es en octal
|
con b = 8.
Ejemplo:
|
Para pasar el número octal 1367.25)8 a decimal:
|
Para pasar un número entero decimal a octal se hacen sucesivas divisiones enteras del número y los subsiguientes cocientes por 8 (al igual que en binario). Para transformar la parte fraccionaria de un número decimal a octal se hacen sucesivas multiplicaciones por 8 (de la misma forma que en binario).
Ejemplo:
|
Para pasar el número decimal 760.33)10 a octal: 760 | 8__ 40 0 95 | 8__ 15 7 11 | 8__ 3 1 0.33 0.64 0.12 0.96 *8 * 8 * 8 * 8 ------ ------- ------- ------- 2.64 5.12 0.96 7.68 El número en octal es 1370.2507 |
b) HEXADECIMAL
Para representar un número en base hexadecimal (b = 16) es necesario disponer de un conjunto o alfabeto de 16 símbolos. Se suele usar el conjunto:
Podemos hacer las conversiones de binario a hexadecimal y viceversa en forma anónloga al sistema octal. Ahora bien, aquón utilizaremos grupos de 4 bit en lugar de grupos de 3 bit.
Equivalencias
| HEX | BINARIO | DECIMAL |
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0110 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| A | 1010 | 10 |
| B | 1011 | 11 |
| C | 1100 | 12 |
| D | 1101 | 13 |
| E | 1110 | 14 |
| F | 1111 | 15 |
|
Pasar el número binario 010010111011111.1011101)2 a hexadecimal.
|
Ejemplo:
|
Pasar el número 1ABC701.C4)16 a binario:
El número binario resultante es: |
Para transformar un número hexadecimal a decimal aplicamos la expresión siguiente con b=16.
Ejemplo:
Pasar el número hexadecimal A798C.1E)16 a decimal. |
Para pasar un número de decimal a hexadecimal se hace de forma anónloga a los casos binario y octal: la parte entera se divide por 16, Así como los cocientes enteros sucesivos, y la parte fraccionaria se multiplica por 16, Así como las partes fraccionarias de los productos sucesivos.
Ejemplo:
|
El número 4573.79)10 se corresponde en hexadecimal:
4573 |16 137 093 285 |16 13 125 13 17 |16 1 1 0.79 0.64 0.24 * 16 * 16 * 16 ------ ----- - ----- 474 384 144 +79 +64 +24 ----- ---- ----- 12.64 10.24 3.84 C A 3 El número en hexadecimal es 11DD.CA3)16 |
5.4 Representación interna de la información.
En la memoria y el procesador central la información se transmite y procesa en unidades denominadas palabras. La organización de las palabras depende del ordenador, siendo usuales las longitudes: 8, 16, 32, 36, 60 y 64 bit, aunque hay hasta de 512 bit.La memoria principal se encuentra organizada en palabras, cada una de las cuales tiene asignada una dirección. Los intercambios de información entre el procesador y la memoria se hacen en unidades denominadas palabras y no en caracteres (octetos) o en bit.
Normalmente para aprovechar la memoria, la longitud de la palabra debe ser un másltiplo entero del número de bit usados para representar un caróncter.
Los datos se introducen inicialmente en el ordenador segón un código de entrada/salida (que ya hemos visto), tanto si ónstos son de tipo alfabóntico como de tipo numásrico.
Los datos de tipo numásrico se utilizan normalmente para operar aritméticamente con ellos, y la representación simbónlica obtenida con el código de E/S no resulta adecuada para realizar este tipo de operaciones. Resulta más adecuado operar en un sistema de numeración que en un código de E/S.
Por los motivos anteriores, y teniendo en cuenta que la ALU opera con palabras, se realiza una conversión de notaciones pasando de la representación simbónlica de E/S a otra notación que denominamos representación interna.
TIPOS DE INFORMACION.
En un sistema de procesamiento de la información es necesaria la codificación de tres clases de información:
- 1 Información numásrica:
- 2 Información no numásrica (o alfanumásrica):
- 3 Instrucciones del programa
-
Enteros
Reales
Complejos
lógicos
-
Caracteres
Los datos de tipo complejo se representan por parejas de números reales almacenados en posiciones consecutivas de memoria. Es decir, pueden considerarse como un caso particular de números reales.
B) Datos de tipo lógico
Representan un valor del Algebra de Boole binaria, es decir, 0 (falso) ón 1 (verdad).
C) Representación en punto fijo
El nombre de esta representación surge al considerar el punto fraccional, situado en una posición fija. El punto fijo es utilizado para la representación de números enteros, suponióndose el punto fraccional ubicado a la derecha de los bit. Cualquiera de los sistemas de representación de enteros es una representación de punto fijo. Tambien, se puede utilizar la representación en punto fijo para representar fracciones binarias escalando los números, de modo que el punto fraccional quede ubicado implóncitamente en otra posición entre los bit, y en el caso lónmite a la izquierda de todos ellos describiendo un número fraccional binario puro (menor a 1).
- a) El signo se representa en el bit situado más a la izquierda de la palabra. Este bit es 0 si el número es positivo ón 1 si el número es negativo.
- b) El valor absoluto:
- b1) números positivos: Se almacenan directamente el número en binario natural.
- b2) números negativos: Dependiendo del ordenador se almacena el complemento a 2 del número binario natural o la magnitud del número en binario natural.
Ejemplo de representación interna de datos de tipo entero en un ordenador de palabras de 4 bit:
| DECIMAL | SIGNO Y MAGNITUD | COMPLEMENTO A 2 |
| 7 | 0111 | 0111 |
| 6 | 0110 | 0110 |
| 5 | 0101 | 0101 |
| 4 | 0100 | 0100 |
| 3 | 0011 | 0011 |
| 2 | 0010 | 0010 |
| 1 | 0001 | 0001 |
| +0 | 0000 | 0000 |
| -0 | 1000 | ---- |
| -1 | 1001 | 1111 |
| -2 | 1010 | 1110 |
| -3 | 1011 | 1101 |
| -4 | 1100 | 1100 |
| -5 | 1101 | 1011 |
| -6 | 1110 | 1010 |
| -7 | 1111 | 1001 |
| -8 | ----- | 1000 |
D) Representación en punto flotante
El punto flotante surge de la necesidad de representar números reales y enteros con un rango de representación mayor que el que ofrece la representación en punto fijo y posibilitar al ordenador el tratamiento de números muy grandes y muy pequeónos. Estas ventajas que ofrece el punto flotante traen como contraprestación una disminución en la precisión de los números representados.
En su representación se utiliza la notación cientónfica o exponencial matemástica en la que una cantidad se representa de la siguiente forma:
nón = mantisa * base de exponenciación exponente
Un número en esta notación tiene infinitas representaciones, de las que se toma como estádar la denominada normalizada, que consiste en que la mantisa no tiene parte entera y el primer dóngito o cifra a la derecha del punto decimal es significativo (distinto de 0), salvo en la representación del número 0.
Ejemplo (^ significa elevado a):
835.4 = 8354*10^-1 = 835.4 * 10^0 = 83.54 * 10^1 = 8.354 * 10^2 = .8354 * 10^3
Representación del número decimal 835.4 con base de exponenciación 10. siendo está ónltima expresión la que corresponde al número normalizado.
En este sistema de codificación, se dividen los bit disponibles en la palabra o doble palabra del ordenador entre la mantisa y el exponente, teniendo una base de exponenciación determinada (2 o potencia de 2). Normalmente la definición de la coma flotante sigue las siguientes reglas:
- El exponente se representa en uno de los siguientes sistemas de codificación: másdulo y signo o exceso a 2 n-1, siendo siempre un número entero. En este sistema de codificación el exponente tambión recibe el nombre de caracterónstica.
- La mantisa es un número real con el punto decimal implóncito a la izquierda de sus bit, representada normalmente en uno de los siguientes sistemas de codificación: másdulo y signo, complemento a 1 o complemento a 2.
- La base de exponenciación es una potencia de 2 determinada por el fabricante del equipo (2, 8 o 16).
a) para simple precisión (32 bit)
signo exponente mantisa
31 30 23 22 0
b) para doble precisión (64 bit)
signo exponente mantisa
63 62 52 51 0
El rango de representación en la coma flotante debe ser analizado teniendo en cuenta los másximos y másimos valores representables tanto con signo positivo como negativo:
másimo número negativo = -(mantisa másxima) * basemásximo exponente
másximo número negativo = -(mantisa másima) * base-maximo exponente
másimo número positivo = mantisa másima * base-másximo exponente
másximo número positivo = mantisa másxima * basemásximo exponente
Conviene observar que existen cuatro zonas de números que no pueden ser representados mediante un determinado formato de coma flotante. Estas zonas está ubicadas cercanas al 0, tanto para valores positivos como negativos (subdesbordamiento positivo o negativo), como para valores grandes (positivos) o pequeónos(negativos) que exceden el rango de representación.
Ejemplo
Un ordenador utiliza el siguiente formato para registrar números en punto flotante:
- los bit del 23 al 30 se utilizan para representar el exponente en exceso a 128 (27)
- los bit del 0 al 22 se utilizan para representar la mantisa normalizada para el sistema másdulo y signo
- el bit 31 se utiliza para representar el signo de la mantisa (0 para el +)
- la base de exponenciación es 2
- el 0 se representa con todos los bit en 0.
- 12 en notación normalizada de base 2 es 0.75 * 24
- el exponente de valor 4 en exceso a 128 es: 10000100
- la mantisa 0.75 en binario es 0.11
0 10000100 11000000000000000000000
signo (+) exponente 4 mantisa 0.75
Representar en el formato definido el 12. En este caso la notación normalizada solo sufre cambio en el signo de la mantisa (-0.75 * 24), la expresión quedarón ntonces:
1 10000100 11000000000000000000000
signo (-) exponente 4 mantisa 0.75
El rango de representación de este formato en coma flotante serán:
másimo negativo = -(1 - 223)*2127 = -2127 = 1.701411834605 * 1038
másximo negativo = -0.5 * 2-128 = -2-129 = -1.469367938528 * 10-39
másimo positivo = 0.5 * 2-128 = 2-129 = 1.469367938528 * 10-39
másximo positivo = (1 - 223)*2127 = 2127 = 1.701411834605 * 1038
E) Datos de tipo caróncter
Los datos de tipo caróncter, representan sencillamente cadenas de caracteres representados segón el código de E/S.
A las representaciones de los caracteres se les imponen las siguientes condiciones:
- Deben englobar las 26 letras del alfabeto latino, los 10 dígitos y un cierto número de caracteres gráficos (operadores) y signos de puntuación.
- Deben permitir aónadir nuevos caracteres especónficos.
- Deben incluir un sistema de redundancia que permita la detección de errores en el curso de la transmisión.
- Los subconjuntos de letras y números deben estar ordenados y ser coherentes. Estarón en dos grupos diferentes y ordenados.
Las instrucciones llevan cierto número de informaciones:
- código de operación.
- Dirección de operandos/resultados.
- Condiciones de direccionamiento, etc.
Así una zona de código de operación de 6 bit permite codificar 26 = 64 operaciones diferentes, y si una zona de direcciones es de 16 bit permitirón direccionar una memoria de 216 direcciones.
5.5 Detección de errores en la información codificada
Hemos visto anteriormente que si representamos cada caróncter por un número fijo de bit, para representar m símbolos distintos necesitamos al menos n bit, siendo n el menor número entero que verifica la relaciónTambión hemos observado que a veces no es necesario utilizar todas las combinaciones posibles de los n bit. Cuantas menos combinaciones se desperdicien decimos que el código es más eficiente.
Un código que es poco eficiente se dice que es redundante. La eficiencia de un código se expresa como el cociente entre el número de símbolos que representa y el número total posible,
Así se tiene para el ASCII una eficiencia de 95/27, que es 0.742, con R=25.8% y para el ASCII extendido la eficiencia es 95/28, que es 0.371, con R=62.9%, donde R es la redundancia, que se calcula, R=(1-þ)*100%
A veces las redundancias se introducen deliberadamente para poder detectar posibles errores en la transmisión o grabación de información.
Así por ejemplo, si necesitamos transmitir 8 símbolos (A, B, C,...,H) y si se hace con un código sin redundancias, necesitamos n = 3 bit, y un código posible puede ser:
| ALFABETO | código | |
| A | 000 | |
| B | 001 | |
| C | 010 | |
| D | 011 | |
| E | 100 | |
| F | 101 | |
| G | 110 | |
| H | 111 | |
En el caso de que por algún error uno de los bit varóne obtenemos otro símbolo del alfabeto, que considerado aisladamente no puede ser detectado como erróneo. Si se usase un código redundante, tal como el siguiente:
| ALFABETO | código | |
| A | 0000 | |
| B | 0001 | |
| C | 0010 | |
| D | 0011 | |
| E | 0100 | |
| F | 0101 | |
| G | 0110 | |
| H | 0111 | |
existirónan algunas posibilidades de detectar errores. Así por ejemplo, si se transmite el símbolo H, esto es 0111, y por un error la transmisión cambiara el primer bit, esto es se recibiese 1111, podróna detectarse el error ya que 1111 no corresponde a ninguno de los símbolos posibles.
Usualmente las redundancias se introducen deliberadamente y de acuerdo con algón algoritmo predeterminado. Uno de estos algoritmos aónade al código inicial da cada caróncter un nuevo bit denominado bit de paridad. Existen dos criterios para introducir este bit:
- Bit de paridad, criterio par: se aónade un bit (0 ón 1) de forma tal que el número total de unos del código que resulte sea par.
- Bit de paridad, criterio impar: Se aónade un bit (0 ón 1) de forma tal que el número total de unos del código que resulte sea impar.
código inicial código con bit de paridad par
100 0001 0100 0001
-
101 1011 1101 1011
-
101 0000 0101 0000
-
110 1000 1110 1000
- código con bit de paridad impar
100 0001 1100 0001
-
110 0101 1110 0101
-
010 0000 0010 0000
-
000 0000 1000 0000
-
El bit de paridad se introduce antes de transmitir o grabar la información. Por ruido o interferencias en la transmisión o defecto del soporte de la información puede eventualmente cambiar un bit (de 1 a 0 ón de 0 a 1). Si en el receptor o al leer la información se comprueba la paridad, se detectaróna el error, ya que el número de unos dejaróna de ser par (en el criterio par) o impar (en el criterio impar).
En el caso de transmisión de datos, automásticamente se podróna provocar una nueva transmisión del caróncter erróneo. Obviamente si se produjese el cambio simultóneo de dos bit distintos no se detectaróna el error de paridad, ahora bien, esta eventualidad es mucho menos probable que la de que cambie un solo bit.
códigos de barras
Otro caso habitual donde aparece información redundante con la finalidad de verificar errores, es en los códigos de baras, habituales en cualquier producto que se comercialice masivamente. En 1974 los 12 paónses que entonces formaban la Unión Europea decidieron adoptar un sistema de codificación para los productos, similar al sistema UPC de Estados Unidos de Norteamásrica. Así surgión el código EAN (European Article Numbering), sistema que han adoptado más de 100 paónses y cerca de un millón de empresas.
El más usual es EAN 13, formado por 13 dígitos agrupados en cuatro partes: prefijo, código empresa, código producto y dóngito de control. El prefijo asignado por EAN internacional a AECOC es el 84, de modo que la mayoróna de las empresas que forman parte del sistema EAN a travóns de AECOC utilizan este número. El código de empresa (fabricante o cadena de distribución) está formado por un número de entre 5 y 8 dígitos. El código del producto completa los primeros 12 dígitos y el último dóngito es de control. Por ejemplo, un tarro con garbanzos cocidos marca Eroski, lleva el siguiente código 8480010021967, donde 84 significa Espaóna, 80010 es el número que tiene asignado la cooperativa Eroski, 02196 corresponde a ese tipo de garbanzos, siendo una clasificación interna del distribuidor y 7 es el código de control.
En el momento de la venta, el terminal punto de venta (TPV), realiza las siguientes operaciones:
-
1. Suma los dígitos de las posiciones pares: 4+0+1+0+1+6 = 12
2. Multiplica el resultado por 3: 12x3= 36
3. Le aónade los dígitos de las posiciones impares: 36+8+8+2+9=63
4. Resta la suma obtenida del siguiente másltiplo de 10: 70-63=7
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