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\usepackage[spanish]{babel}


 \def\N{\mathbb{N}} \def\natnums{\mathbb{N}}
 \def\Z{\mathbb{Z}}
 \def\Q{\mathbb{Q}}
 \def\R{\mathbb{R}} \def\reals{\mathbb{R}}
 \def\C{\mathbb{C}} 
 \def\K{\mathbb{K}}

\hypersetup{%
  pdftitle={Presentación A},%
  pdfauthor={}}

\title[Análisis Matemático I]{Análisis Matemático I: Cálculo diferencial}
\author{Presentaciones  de Clase}
\institute{Universidad de Murcia}
\date{Curso 2007-2008}


\begin{document}




\frame{\titlepage}


\section[Índice]{}

\frame{\tableofcontents}



\begin{alertblock}{Objetivos}
\begin{itemize}
\item Definir, entender y aplicar  el concepto de función derivable.
\item Estudiar la relación entre derivabilidad, crecimiento, máximos
y mínimos, optimización, etc.
\item Estudiar la aproximación de funciones mediante polinomios:
fórmula de Taylor.
\item Estudiar la noción de convexidad: relación con la
derivabilidad.
\end{itemize}
\end{alertblock}



\section{Funciones derivables}





\begin{frame}
\frametitle{Funciones derivables}\footnotesize
\begin{block}{Definición}
Una función  $f: I\rightarrow \reals$  definida en un intervalo
abierto $I$ de $\R$ se dice que es derivable en $c\in I$ si existe
$$\lim _{h\to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}:= f'(c).$$ El valor $f'(c)$ recibe el
nombre de derivada de $f$ en $c$ y es frecuente llamar a
$$\frac{f(c+h) - f(c)}{h}$$ cociente incremental de $f$ en $c$.
\end{block}


\onslide<2->{
\begin{alertblock}{Interpretaciones}
\begin{enumerate}

\item<2-|alert@2>
Geométrica: como la pendiente de la recta tangente.

\item<3-|alert@3> Física: como la velocidad.
\end{enumerate}
\end{alertblock}
} 
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Funciones derivables}\footnotesize
\begin{block}{Definición}
Una función $f:I \rightarrow \reals$ definida en un intervalo
abierto $I$ se dice derivable en $I$ si $f$ es derivable en cada
punto de $I$. La función $f':I\rightarrow \reals$ así definida se
llama la función derivada de $f$.
\end{block}


\onslide<2->{
\begin{alertblock}{Ejemplos}
\begin{enumerate}

\item<2-|alert@2>
$f:I\subset\reals\rightarrow \reals$ es una función constante en un
intervalo $I$, entonces $f$ es derivable en $I$ con derivada nula

\item<3-|alert@3> $f:I\subset\reals\rightarrow \reals$ está definida por $f(x)=x$ entonces $f$ es
derivable en $I$ con derivada $f'(x)=1$ para todo $x\in I$

\item<4-|alert@4> La función $f:\reals\rightarrow \reals$ definida por $f(x)=|x|$, es derivable en
todo punto $c\neq 0$ y no es derivable en $c=0$.

\item<5-|alert@5> La función $f$ definida en $\reals$ mediante $f(x)=x^n$, $n\in\natnums$, es
derivable en $\reals$ y su derivada es la función $f'(x)=nx^{n-1}$.

\item<6-|alert@6> La función seno, $g(x)=\sin x$, es derivable en $\reals$ con derivada
$g'(x)=\cos x$ y la función coseno, $h(x)=\cos x$, también es
derivable en $\R$ con derivada $h'(x)=-\sin x$.
\end{enumerate}
\end{alertblock}
} 
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Funciones derivables}\footnotesize

\begin{alertblock}{Ejemplos}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{5}

\item<1-|alert@1> La función exponencial, $f(x)=e^x$, es derivable en $\reals$ y su
derivada es la función $f'(x)=e^x$.

\item<2-|alert@2> La función logaritmo, $f(x)=\log x$ es derivable en $(0,\infty)$ y $f'(x)=1/x$.

\item<3-|alert@3> $f(x)=x\sin (1/x)$  si $x\not =
0$ y $f(0)=0$ no es derivable en $x=0$. En cambio sí es derivable en
todo $\reals$ la función $g$ dada por  $g(x)=x2 \sin (1/x)$ si
$x\not = 0$ y  $g(0)=0$.

\end{enumerate}
\end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Derivadas laterales}\footnotesize

\begin{block}{Definición}
Para funciones definidas en un intervalo en que los límites $$ \lim
_{h\to 0^+} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}:= f'(c^+)\qquad \lim _{h\to 0^-}
\frac{f(c+h) - f(c)}{h}:= f'(c^-)$$ existan, llamamos derivada por
la izquierda $f'(c^-)$ de $f$ en $c$ y de derivada por la derecha
$f'(c^+)$ de $f$ en $c$.
\end{block}

\pause
\begin{alertblock}{Ejemplo}
$f:\reals\rightarrow \reals$ definida por $f(x)=|x|$. En $x=0$ la
función no es derivable, pero tiene derivada por la izquierda y por
la derecha.
\end{alertblock}
\end{frame}



\begin{frame}\frametitle{Aproximación local: diferenciabilidad}\footnotesize

\begin{block}{Observación}
El hecho de que exista la derivada de $f$ en $c$ y valga $m$ puede
formularse diciendo que
\begin{equation}
f(c+h)=f(c)+ mh + h\alpha (h)
\end{equation}
donde $\alpha (h)$ es una función definida en un entorno reducido
del origen con la propiedad de que $\lim_{h\to 0} \alpha (h) =0$.
\end{block}

\pause
\begin{block}{Definición}
Llamaremos entorno reducido de $a\in\mathbb K$ a cualquier conjunto
de la forma $V\setminus\{a\}$ siendo $V$ un entorno de $a$.
\end{block}

\pause
\begin{alertblock}{}
La ecuación anterior también se escribe a veces en la forma
\begin{equation}
f(c+h)=f(c)+ m h + o(h)
\end{equation}
donde $o(h)$ representa una función definida en un entorno reducido
de $0$ con la propiedad de que $\lim_{h\to 0}\dfrac{o(h)}{h} =0$. La
función $o(h)$ se llama una «\textit{o pequeña de}~$h$».
\end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Aproximación local:
diferenciabilidad}\footnotesize

\begin{block}{Definición}
Una función $f: I\rightarrow\reals$ se dice diferenciable en el
punto $c\in I$ si existe una aplicación lineal $L: \reals\rightarrow
\reals$, llamada diferencial de $f$ en $c$ y denotada con $df(c)$,
tal que
$$\lim_{h\to 0} \dfrac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h} =0$$
\end{block}

\pause
\begin{block}{Definición}
$f$ es una función derivable en el punto $c$ si y sólo si $f$ es
diferenciable en $c$ y, en ese caso,  $df(c)(x)=f'(c) x$.
\end{block}

\pause
\begin{block}{Proposición}
Si $f:I\subset\reals\rightarrow \reals$ es una función derivable en
$c\in I$ entonces $f$ es continua en $c$.
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Propiedades de funciones derivables}\footnotesize

\begin{block}{Proposición}
Si $f,g$ son funciones  del intervalo abierto $I\subset\reals$ en
$\reals$ derivables en un punto $c\in I$ entonces:
  \begin{enumerate}
  \item
La suma $f+g$ es derivable en $c$ con $$(f+g)' (c) =f'(c)+g'(c).$$
  \item
El producto $fg$ es derivable en $c$ con $$(fg)' (c)
=f'(c)g(c)+f(c)g'(c).$$
  \item
Si $g(c)\not = 0$ en $I$ entonces $f/g$ es derivable en $c$ y
$$\Big(\frac{f}{g}\Big)'(c)=\dfrac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g2(c)}.$$
  \end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Propiedades de funciones derivables}
\begin{block}{Regla de la cadena}
Sean $I_1, I_2$ intervalos abiertos de $\R$ y sean las funciones
$f_1:I_1\longrightarrow \R$ y $f_2 :I_2 \longrightarrow \R$ tales que $f_1 (I_1
)\subset I_2$. Si $f_1$ es derivable en $c\in I_1$ y $f_2$ es
derivable en $f_1 (c)$ entonces $f_2 \circ f_1$ es derivable en $c$
y $$(f_2 \circ f_1 )' (c)= f'_2 (f_1 (c)) f'_1 (c).$$
\end{block}
\end{frame}
\end{document}