SOLUCIÓN
ANALÍTICA DEL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
Esta simulación ha sido realizada por Juan José
Gómez Navarro, alumno de Física de la Universidad de
Murcia, para la asignatura Mecánica Teórica de 4º
con el profesor José Antonio Oller del departamento de
física de la Uneversidad de Murcia. La he ralizado con el
programa Easy Java Simulations. Para cualquier aclaración o
sugerencia puedes mandar me un correo a la direción
gomeznavarro@hotmail.com
Ésta se basa en que la figura que forman los tres vuerpos ha
de ser un triángulo equilátero. Con esta condición
y mediante interacciones puramente gravitatorias es posible encontrar
la solución analítica al problema de la evolución
temporal del sistema. Se demuestra que el movimieto está
confinado en un plano (el de la pantalla) y que el
movimiento de los cuerpos es
como si cada uno describiera una cónica semejante entre
sí respecto al centro de masas del sistema (que permanece fijo
de acuerdo a
las condiciones iniciales).
Las condiciones iniciales son que la forma de la figura inicial es el
triángulo que se ve abajo, y que se le dá un giro inicial
de velocidad angular w0 respecto al eje perpendicular a la pantalla que
pasa por el centro de masas (en negro). Variando las masas modificamos
el
centro de masas, y variando w0 podemos tener diferentes órbitas
de
diversa excentricidad, cuyo periodo se calcula y se presenta en la
parte
inferior izquerda de la simulación. También
podemos
modificar el tamaño inicial del triángulo, lo cual
modificará también el periodo de acuerdo con la 3ª
ley de kepler.
La simulación no está escalada temporalmente, es
decir, que el periodo de la simulación será el mismo
independientemente del periodo del movimiento real,
por eso es importante mirar el periodo real así como el tiempo
transcurrido en la parte inferior izquierda de la simulación.
También se presenta la excentricidad de las órbitas, que
es la misma para los tres cuerpos (esto se puede demostrar). Otro dato
presentado es la velocidad angular máxima que puede admitir el
sistema para que las trayectorias sigan siendo cerradas.
IMPORTANTE: a la hora de modificar los
parámetros de la simulación es muy importante pulsar
intro después de cada modificación, hasta que el cuadro
vueva a estar de amarillo a blanco otra vez. Recomiendo encarecidamente
cambiar los parámetros poco a poco, para poder ver el
comportamiento del sistema, en lugar de cambiarlos a grandes saltos que
puedan provocar inestabilidad del programa.
Si no puedes ver el Applet es por qué tu navegador no tienes
instalado
el plug-in adecuado. Puedes probar con otro navegador, como
mozilla
o instalar el parche para java 2 de internet explorer.
Las unidades que he escogido para la simulación, teniendo en
cuenta que los números sean más manejables son:
-dias para el tiempo (el periodo de la Tierra es de unos 365 en estas
unidades, obviamente)
-10E24 kg para la masa (la masa de la Tierra es 6 aproximadamente en
estas unidades)
-10E6 Km para la distancia (la distancia Tierra-Sol es de
unos 150 en estas unidades)
Es importante recalcar que se trata de una solución
analítica que el ordenador se limita a representar. No se hacen
cálculos numéricos aproximados, de manera que la
elección de las condiciones iniciales es importante. Si la
energía de los cuerpos es positiva o nula, la trayectoria real
del sistema no sería elíptica, caso que no es contemplado
por el algoritmo. Para evitar esta situación se calcula la
velocidad angular máxima para que la energía siga siendo
negativa (ésta es la que se representa en la pantalla como W
máximo). No se debe sobrepasar este valor, de manera que el
programa se protege impidiendo que w0 sea mayor que este límite
y avisándonos de tal situación. Por otro lado tampoco
permite masas inferiores a 100 E24 kg por que la interacción es
demasiado dévil y es difícil establecer el equilibrio,
aunque siempre se puede hacer.