Topología de Espacios Métricos

Programa

Programa de Teoría

Tema 1: Espacios métricos
Distancia. Espacio métrico. Distancias en R y Rⁿ. Ejemplos de espacios métricos. Subespacio métrico. Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos. Bolas. Topología asociada a una métrica. Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades. Producto de espacios métricos.

Tema 2: Subconjuntos destacados en la topología métrica
Adherencia, interior y frontera. Conjuntos densos y espacios separables. Puntos aislados y de acumulación. Adherencia, interior y frontera relativos. Sucesiones. Convergencia. Caracterización mediante sucesiones de los puntos adherentes y puntos frontera.

Tema 3: Funciones continuas
Continuidad de funciones entre espacios métricos. Continuidad en un punto. Continuidad global. Caracterización de la continuidad mediante sucesiones. Principales propiedades de las aplicaciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Aplicaciones continuas en subespacios. Continuidad uniforme. Isometrías.

Tema 4: Espacios compactos
Espacio y subespacio compacto. Subconjuntos compactos de la recta real y del espacio euclídeo Rⁿ. Compacidad secuencial. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Relación entre la compacidad y las funciones continuas. Propiedad de la intersección finita.

Tema 5: Espacios métricos completos
Sucesiones de Cauchy. Los espacios euclídeos (Rⁿ). Relación entre la completitud y la compacidad. Algunos resultados interesantes: teorema de encaje de Cantor, un teorema de Baire, teorema del punto fijo. Completado de un espacio métrico.

Tema 6: Espacios conexos
Espacios métricos conexos. Propiedades. Componentes conexas. Los subespacios conexos de la recta real. Conexión y continuidad. Conexión por caminos.