Material de clase
Programa
Capítulo 1: Variedades diferenciables y subvariedades. 
Capítulo 1
Superficies k-dimensionales en Rn. Atlas diferenciable sobre una variedad topológica. Estructura diferenciable. Definición de variedad diferenciable. Ejemplos. La variedad diferenciable producto. La topología inducida. Estructura diferenciable sobre un espacio topológico. Propiedades de la topología inducida. Variedades Hausdorff y segundo axioma de numerabilidad. Variedades paracompactas. Funciones diferenciables. Definición de aplicación diferenciable. Difeomorfismos y difeomorfismos locales. Variedades difeomorfas. Vectores en Rn como derivadas direccionales. Definición de vector tangente. Espacio tangente. Covectores y espacio cotangente. La diferencial de una aplicación diferenciable. Matriz jacobiana y rango de una aplicación diferenciable. La regla de la cadena. El teorema de la función inversa. Los fibrados tangente y cotangente. Inmersiones. Propiedades de las inmersiones. Embebimiento. Subvariedad. Sistemas de coordenadas adaptados. El teorema de la función implícita. Ejemplos. El teorema de Whitney.
Capítulo 2: Campos de vectores y campos de tensores. Capítulo 2
Campos de vectores diferenciables. Expresión en coordenadas y criterios de diferenciabilidad. El corchete de Lie de dos campos. Campos de vectores a lo largo de una aplicación. Campos tangentes sobre una subvariedad. Curva integral de un campo de vectores. Existencia y unicidad de curvas integrales. Curva integral maximal. Campos de vectores completos. El flujo de un campo. Grupos uniparamétricos de transformaciones. El corchete de Lie y su interpretación geométrica. Uno-formas diferenciables. Expresión en coordenadas y criterios de diferenciabilidad. La diferencial de una función diferenciable. Definición de tensor sobre un espacio vectorial. Campo de tensores sobre una variedad. Expresión en coordenadas y criterios de diferenciabilidad. Componentes tensoriales. El producto tensorial. Álgebra de tensores. Contracción tensorial. El pullback y el pushforward de un tensor. Propiedades.
Capítulo 3: Derivaciones tensoriales y formas diferenciales. Capítulo 3
Definición de derivación tensorial. Interpretación como derivación sobre el álgebra de los campos de tensores diferenciables. El producto conmutador o corchete de dos derivaciones tensoriales. El álgebra de Lie de las derivaciones tensoriales. Carácter local de las derivaciones. La regla del producto. Construcción de derivaciones tensoriales. La derivada de Lie. Tensores simétricos y antisimétricos sobre un espacio vectorial. Formas. Los operadores simetrización y antisimetrización. Producto exterior de formas. El álgebra exterior o álgebra de Grassmann sobre un espacio vectorial. Campos de tensores simétricos y antisimétricos. Formas sobre una variedad. El producto exterior de formas diferenciales. El álgebra exterior sobre una variedad. Homomorfismo inducido por una aplicación diferenciable. La diferencial exterior de una variedad: existencia y unicidad local, globalización. Derivaciones y antiderivaciones sobre el álgebra exterior de una variedad. La diferencial exterior y el pullback. El producto interno. La derivada de Lie de formas diferenciales.
Capítulo 4: Integración en variedades. Capítulo 4
Orientación en espacios vectoriales. Orientación en variedades. Variedades orientables. Criterios de orientabilidad. Ejemplos. Difeomorfismos que conservan o invierten la orientación. Elementos de volumen y orientación. Repaso a la integración en Rn: función integrable, teorema de Fubini y teorema del cambio de variables para la integral de Riemann en Rn. La integral de una n-forma continua de soporte compacto sobre una variedad orientada. Propiedades básicas de la integral. Integración en variedades de Riemann. Cartas y atlas en sentido generalizado. Estructuras diferenciables en sentido generalizado. Variedades diferenciables con borde. El borde y el interior. El espacio tangente en un punto del borde. Vectores tangentes entrantes y salientes. Orientabilidad de variedades con borde y orientación inducida sobre el borde. El teorema de Stokes para variedades orientadas. Aplicaciones: el teorema de Green en el plano y teorema de la divergencia en el espacio. Integral de línea de una uno-forma. Formas diferenciales cerradas y exactas. Grupos de cohomología de De Rham. Aplicaciones entre los grupos de cohomología inducidas por aplicaciones diferenciables. El lema de Poincaré. Cohomología de De Rham de los espacios euclídeos punteados y de las esferas.
