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Sea X una variable aleatoria con función de distribución FX(x).
Por resultados básicos de probabilidad, se tiene que U=FX(X) es
una variables aleatoria y sigue una distribución U(0,1). A
continuación veremos un resultado recíproco. Previamente,
establecemos la siguiente notación: dado
,
se define
Si
y F es una función de distribución,
entonces
X=F-1(U) tiene función de distribución F.
Demostración:
(i) Nótese en primer lugar que
(ii) Veamos que
.
"
"
Sea (u,x) un elemento del primer conjunto.
Luego (u,x) está en el segundo conjunto.
"
"
Sea ahora (u,x) un elemento del segundo conjunto.
Por lo tanto, (u,x) pertenece al primer conjunto.
(iii)
La última igualdad por tratarse de una variable uniforme en el intervalo (0,1).
Q.E.D.
Así se tiene el siguiente método de la transformación inversa:
- 1.
- Genérese ui.
- 2.
- Hágase
xi=FX-1(ui).
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
variables aleatorias
independientes con la misma función de distribución FX y
Sin embargo, este método presenta problemas cuando no es posible
obtener FX-1 de forma explícita (por ejemplo, en la
distribución normal).