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Método del cociente de uniformes

Sea $h(x)\geq 0$ tal que $\int_{\mathbb{R} } {h(x)}dx < +\infty$ , y sea

$\begin{displaymath}C(h)=\left \{(u,v) \ / \ 0\leq u \leq \sqrt{h(\frac{v}{u})} \right\}.\end{displaymath}$

Se cumple:

1.

C(h) tiene área finita.

2.

Si (U,V) sigue una distribución uniforme en C(h), entonces la función de densidad de $\frac{V}{U}$ es

$\begin{displaymath}\frac{h(x)}{\int_{\mathbb{R} } {h(t)} dt}.\end{displaymath}$

Demostración:
(i) Se define

$\begin{displaymath}C_x(h)=\left \{x \ / \ \exists y: \ 0\leq y\leq \sqrt{h(x)} \right \} .\end{displaymath}$

Entonces el área de C(h) es

$\begin{displaymath}\iint_{C(h)} {}du \, dv=\left\vert \begin{array}{ccc} x=\... ... & 1 \\ y & x \end{array} \right\vert = -y} \right\vert=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\int_{C_x(h)} {\int_0^{\sqrt{h(x)}} {y}dy} dx = \int_{C_x(h)} {\frac{h(x)}{2}} dx\leq \int_{\mathbb{R} } {h(x)} dx < +\infty.\end{displaymath}$

(ii)

$\begin{displaymath}f_{(U,V)}(u,v)=\frac{\chi_{C(h)}}{\text{Área \ } C(h)}.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f_{(X,Y)}(x,y)=f_{(U,V)}(u(x,y),v(x,y)) \left\vert\frac{\part... ...C(h)}}{\int_{C_t(h)} {h(t)} dt} y, \ 0\leq y \leq \sqrt{h(x)}.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}f_X(x)=\frac{\int_0^{\sqrt{h(x)}} {2y} dy}{\int_{C_t(h)} {h(... ...C_t(h)} {h(t)}dt} = \frac{h(x)}{\int_{\mathbb{R} } {h(t)} dt}.\end{displaymath}$

(La igualdad en el último paso es consecuencia de que tanto f_X como h son funciones de densidad)

Ejemplo:

$X\equiv N(0,1),\ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \ x\in \mathbb{R}$ . Tomemos $h(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}, \ x\in \mathbb{R}$ .

$\begin{displaymath}C(h)=\left \{ (u,v) \ / \ 0\leq u \leq \sqrt{e^{-\frac{v^2}{... ...\{ (u,v) \ / \ 0 \leq u \leq e^{-\frac{v^2}{4u^2}} \right \} .\end{displaymath}$

Acotación de u:

$\begin{displaymath}u\geq 0.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}u\leq \sup \left \{ e^{-t} \right \}_{t\geq0} =1.\end{displaymath}$

Luego $0\leq u \leq 1$ .

Acotación de v:

$\begin{displaymath}u\leq e^{-\frac{v^2}{4u^2}};\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}v^2\leq -4u^2 \ln u \leq \frac{2}{e}.\end{displaymath}$

(Esto último se debe a que $u\in [0,1]$ y el máximo se alcanza en $u=e^{-\frac{1}{2}}$ )

$\begin{displaymath}-\sqrt{\frac{2}{e}} \leq v \leq \sqrt{\frac{2}{e}}\end{displaymath}$

Así se tiene el siguiente algoritmo:

1.: Se genera u₁, $u_2 \equiv U(0,1)$ e independientes.
2.: Sea $v=-\sqrt{\frac{2}{e}} + 2\sqrt{\frac{2}{e}}u_2$ .
3.: Si $u_1\leq e^{-\frac{v^2}{4u_2^2}}$ , entonces se toma $x=\frac{v}{u}$ . En caso contrario se repite el paso 1.