Modelo 6

• El inventario es discreto.
• Escasez prohibida.
• Coste material constante.
• Coste de pedido k.
• Coste de mantenimiento h.
• Demanda: la probabilidad de que una unidad concreta de porducto sea demandada en el período de tiempo [t,t+dt] es $\mu dt + o(dt)$. El que se demande un objeto es independiente de que se demande cualquier otro. La probabilidad de hacer dos pedidos en [t,t+dt] es o(dt).
• Política: cuando el nivel de inventario desciende hasta s, se piede Q y se eleva el nivel a s+Q=S.

En estado estacionario:

Sea P_j la probabilidad de que haya j objetos en el inventario en estado estacionario.

$$\left. \begin{array}{ccc} \mu (s+1) P_{s+1} & = & \mu (s+2) ... ...s+Q-1) P_{s+Q-1} & = & \mu (s+Q) P_{s+Q} \end{array} \right \}$$

(Como hay conservación de flujos, la ecuación del nodo s+Q,

$$\mu (s+Q) P_{s+Q} = \mu (s+1) P_{s+1},$$

es redundante) Al resolver el sistema:

$$P_{s+i}=\frac{s+1}{s+i} P_{s+1},\ \ i=1,\dots,Q.$$

Ahora

$$1 = \sum_{i=1}^Q P_{s+i} = (s+1) P_{s+1} \sum_{i=1}^Q \frac {1} {s+i}\Rightarrow$$

$$P_{s+1} = \frac {1} {(s+1) \sum_{i=1}^Q \frac{1}{s+i}}.$$

Luego

$$P_{s+i} = \frac {1} {(s+i) \sum_{n=1}^Q \frac {1} {s+n} } ,\ \ i=1,\dots,Q.$$

Determinemos ahora el nivel medio de inventario en estado estacionario:

$$\sum_{i=1}^Q (s+i) P_{s+i} = \sum_{i=1}^Q \frac {1} {\sum_{n... ...Q \frac{1} {s+n} } = \frac {Q} {\sum_{n=1}^Q \frac {1} {s+n}}.$$

Así que el coste de mantenimiento medio por unidad de tiempo en estado estacionario es

$$\frac{hQ}{\sum_{n=1}^Q \frac{1}{s+n}}.$$

Sin embargo, para el coste de pedido no tiene sentido trabajar con el estado estacionario. Debemos usar el transitorio para saber la longitud media de un período.

$$s\quad \leftarrow \quad s+1 \quad \leftarrow \quad \dots \quad \leftarrow \quad s+Q-1 \quad \leftarrow \quad s+Q$$

(El período va desde s+Q hasta s+1) Sea P_n(t) la probabilidad de que haya n objetos en el inventario en el instante t. Si n<s+Q:

$$P_n(t+h) = P_n(t) (1-\mu n d t) + P_{n+1}(t)(n+1) \mu dt + o (h)\Rightarrow$$

$$P'_n(t) = -n\mu P_n(t) + (n+1) \mu P_{n+1}(t).$$

Si n=s+Q:

$$P'_{s+Q}(t) = - (s+Q) \mu P_{s+Q}.$$

Resolviendo este sistema (hacia atrás):

$$P_n(t) = \left( \begin {array} {c} s+Q \\ n \end{array} \rig... ...t)^n \left( 1- e^{-\mu t} \right)^{s+Q-n}, \, n=s+1,\dots, s+Q.$$

Sea ahora Y la longitud de un período. Como $P(Y\geq t)$ es la probabilidad de que estemos en alguno de los estados s+1,... , s+Q en el instante t, entonces

$$P(Y\geq t) = \sum_{n=1}^Q P_{s+n} (t).$$

Así que

$$E[Y] = \int_0^{+\infty} {P(Y>t)} dt = \sum_{n=1}^Q \int_0^{+\infty} {P_{s+n}(t)} dt =$$

$$=\sum_{n=1}^Q \int_0^{+\infty} { \left( \begin{array}{c} s+Q ... ...dt & = & - \frac{1}{\mu} \frac{dz}{z} \end{array} \right\vert=$$

$$=-\sum_{n=1}^Q \left( \begin{array}{c} s+Q \\ s+n \end{array} \right) \int_1^0 {z^{s+n} (1-z)^{Q-n}} \frac {dz}{\mu z} =$$

$$= \frac {1} {\mu} \sum_{n=1}^Q \left( \begin{array}{c} s+Q \\ s+n \end{array} \right) \int_0^1 {z^{s+n-1} (1-z)^{Q-n}} dz =$$

$$= \frac {1} {\mu} \sum_{n=1}^Q \left( \begin{array}{c} s+Q \\ s+n \end{array} \right) Be(s+n,Q-n+1) =$$

$$= \frac {1} {\mu} \sum_{n=1}^Q \frac {(s+Q)!}{(s+n)!(Q-n)!} \frac {(s+n-1)! (Q-n)!} {(Q+s)!} =$$

$$= \frac {1} {\mu} \sum_{n=1}^Q \frac {1} {s+n}.$$

Coste de pedido:

$$\frac {k \mu} {\sum_{n=1}^Q \frac{1}{s+n}}.$$

Coste total:

$$\frac {k \mu + h Q} {\sum_{i=1}^Q \frac {1} {s+i}}.$$

Se busca $Q^* \in \mathbb{N} ^*$ tal que

$$\begin{array}{ccc} TC(Q^*) & \leq & TC(Q^*+1), \\ TC(Q^*) & \leq & TC(Q^*-1). \end{array}$$