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de colas estocásticosNivel anterior:Ampliación
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de colas determinísticos
t es el parámetro que se asocia al tiempo y X(t) representa el estado del proceso en el instante t.>
Ejemplo:
Si T es un intervalo, entonces el proceso estocástico se dice que es en tiempo continuo.
Definición 4
Se llama camino muestral a una muestra de la variable aleatoria
X(t) para cada valor de t.>
Definición 5
Un proceso estocástico en tiempo continuo se dice que es de
incrementos independientes (i.i.) o de renovación,
si para valores
se tiene que
son variables aleatorias independientes./p> Por lo tanto, en un proceso
de renovación, los cambios en intervalos de tiempo que no se solapan
son independientes.
Definición 6
Un proceso estocástico en tiempo continuo es de incrementos
estacionarios (i.e.) si la distribución, fijado t, de X(s+t)-X(s)
es la misma para todo s tal que s+t pertenezca a T.
Definición 7
Un proceso estocástico en tiempo continuo ,
se dice puntual o de conteo si N(t) representa el número
de veces que ocurre un suceso hasta el instante de tiempo t.
En particular:
Definición 8
Un proceso de conteo se dice de Poisson (homógeneo de
tasa ),
si
(El proceso es de incrementos estacionarios, y los incrementos siguen
una distribución de Poisson de parámetro
para intervalos de tiempo de amplitud t).
/body>Así, el número medio de sucesos hasta el instante t es
pues
()
Si es un proceso de Poisson entonces, por definición, se cumplen las condiciones 1) y 2). Veamos que se verifican también 3) y 4).
3)
ya que
4)
pues
()
Como se verifican 1) y 2), basta probar que . Razonemos por inducción sobre n.
Para n=0:
Sea
Se trata de ver que
Tomando
(los incrementos son independientes)
(los incrementos son estacionarios)
Tomando límites cuando h tiende hacia cero:
Como N(0)=0, entonces P0(0)=1, por lo que c=1
y
Sea ahora el resultado cierto para 1, 2,...,n-1 y veamos que lo
sigue siendo para n. Por el teorema de la probabilidad total:
(por ser los incrementos independientes)
(como
para )
De donde
Al tomar límites cuando h tiende hacia cero:
Por la hipótesis de inducción, Pn-1(t)
es conocido:
Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea,
cuya solución es
Como N(0)=0, entonces c=Pn(0)=0.
Luego
Q.E.D.
Definición 9
Un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad
(tasa)
es un proceso de conteo
que cumple:
n=0
Teniendo en cuenta que la probabilidad de que se produzcan dos o más sucesos en un intervalo pequeño de tiempo es despreciable (por la última condición de la definición), si en el instante t+h hay 0 individuos, sólo deben considerarse dos posibilidades:
Al tomar límites cuando h tiende hacia cero:
n>0
Ahora se presentan tres posibilidades con probabilidades no despreciables:
Al tomar límites cuando h tiende hacia cero:
Supongamos que existe
Ya que si existen los límites en el infinito, entonces Pn(t)
es constante en el infinito y
se tendrá que
Estas ecuaciones son las que están asociadas al proceso en
estado estacionario.
Ejemplo: (Crecimiento lineal)
Una población consta de elementos que pueden dividirse en dos partes iguales o morir. La probabilidad de que un elemtento se divida en el intervalo (t,t+h] es . En ese mismo período, la probabilidad de que muera es , siendo .
Como la división o muerte de cada elemento es independiente de las otras,
Luego
para n=0,1,2,3... y
para n=1,2,3...
Sustituyendo en las ecuaciones del estado estacionario obtenidas anteriormente:
Resolviendo este sistema, se tiene
quedando P0 indeterminado. Si P0<1,
entonces se extingue la población con probabilidad
P0
y crece ilimitadamente con probabilidad 1-P0. Si P0=1,
entonces la población se extingue casi seguramente.
Aunque N(t) es una variable aleatoria desconocida, es posible calcular su esperanza:
Si se multiplica la ecuación n-ésima por n y se suman
todas, como
se tiene
Al sustituir en t=0, se observa que c es la población inicial.
Si , entonces E[N]=0.
Si , entonces .
Si , entonces .