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El sistema M/M/1/k

Diagrama de flujo en estado estacionario :
 
  Ecuaciones de equilibrio:
  $$\left\{\begin{array}{rclr}\lambda P_0 & = & \mu P_1 & \\ ......s,k-1\\ \lambda P_{k-1} & = & \mu P_k &\end{array}\right.$$

Su solución es $P_n=\rho^n P_0$, n=0,1,..., k.

En estado estacionario se tendrá

$$1=\sum_{n=0}^k P_n =\sum_{n=0}^k \rho^n P_0 = \left \{ \beg......\rho \neq 1 \\(k+1)P_0 & si & \rho = 1. \end {array} \right.$$

Así

$$P_n= \left \{ \begin {array}{cccc} \rho^n \frac{1-\rho}{1-\......ts,k.\\\frac {1}{k+1} & si & \rho = 1 & \end{array} \right.$$

Distribución del número de clientes en cola ($\rho \neq 1$)
 
 

$$L = \left \{ \begin{array}{ccc}0 & si & N=0,1 \\n-1 & si & N=n \geq 2.\end {array} \right.$$ $$P(L=0)=P(N=0,1)=P(N=0)+P(N=1)=\frac{1-\rho^2}{1-\rho^{k+1}}.$$ $$P(L=l)= \frac{1-\rho}{1-\rho^{k+1}} \rho ^{l+1} , \ l=1,\dots,k-1.$$

Número medio de clientes en el sistema

$$(\rho \neq 1) \quad E(N)=\left ( \sum_{n=0}^k n \rho^n \right......\sum_{n=1}^k n \rho^n \right )\frac {1-\rho}{1-\rho^{k+1}} =$$ $$=\frac{1-\rho}{1-\rho^{k+1}}\rho \frac{d}{d\rho} \left ( \s......rac{d}{d\rho} \left ( \rho \frac{1-\rho^k}{1-\rho} \right ) =$$ $$= \frac {1-\rho}{1-\rho^{k+1}}\rho \frac {1 - (k+1)\rho^k +......{\rho (1. (k+1)\rho^k + k\rho ^{k+1})}{(1-\rho)(1-\rho^{k+1})}$$